計數Counting和數論Number Theory是AMC考試中最核心的內容,也是正在緊張備考過程中同學們遇到的最多類型的題目,其中probability概率問題也是最容易玩兒出花樣的一種從屬類型題目,相信到了目前的階段同學們大多或多或少地有都了積攢了些許做題的心得。很多同學都慢慢發現做AMC題目有點像“sat 過山車”。

有時候感覺題目真的很簡單,什么排列組合、加法乘法、楊輝三角二項式定理,小學奧數統統都學過,前期題目做得太順甚至有同學發出感嘆:“咦,奇了怪了,我高中時候學的precalculus、AP&IB calculus真的都有用么?”隨著同學們題目刷的越來越多,開始接觸21-25的“挑戰題”時:“哇,這道概率題真是難爆了,感覺腦部帶寬不夠用了。”

AMC是一門真正地為了解決生活中實際問題為出發點的考試,很多時候大家學過的一個“高級”知識點會以一個不經意的方式突然“冒”了出來,get到點的同學會大呼過癮,乃至越來越堅信數學真的是解決所有學科一切應用問題的“爸爸”。

無論是美高還是普高的數學體系下的同學們基本都學過定積分,很多同學都懷揣著一身徒手解各種不定積分題目的本事,這個技能到了大學學高等數學的時候會得到進一步提高,然后從此就再也沒有然后了,若干年后,在知乎“我去市場買菜難道還要學微積分么?”的題目下狠狠地點了個“贊”。

有一些同學的答案稍好一些:“老師,定積分就是求面積。” 這個答案可以說基本正確,但是強迫癥犯了的我其實能說出這看似正確的一句話的很多毛病。那么我們來回憶一下:同學們在高中的數學課本上一般都是:先為了解決不規則圖形面積第一次接觸了黎曼和和定積分的概念。

我們通過把圖形的面積不斷地切割成無限份,再利用近似的方式,估算出面積,并最終得到“面積”的準確算法:定積分公式。

很多同學對這個知識點的理解可能到此就為止了,隨后往往會把更多的時間投入到各種更難的不定積分計算中去了,甚至他們的老師往往忽視了:黎曼和求面積其實只是很狹義的一種認知,“先微小后累積”這種思想其實才是定積分的更廣義的應用。

下面我們拿2016年AMC12A卷的第23題舉個例子給大家看一下微積分的思想到底是如何在AMC的競賽中出現的,它的計算相對正式的微積分考試會非常容易,但是思路更加擴展,更加“意想不到”:

這道題的題意是:

我們隨機在數軸[0,1]內取三個點,以它們的數值作為三角形的三條邊的邊長,求問正好能夠得到一個三角形的概率是多少?

大部分同學都能馬上想到的思路是:

1.三角形兩邊和大于第三邊;

2.先確立a為三個點中的最大值也就是三角形中的最長邊;

3.通過independent probability求出另外兩條邊“打配合”大于第三條邊的概率(第一條邊的長度是能夠確定第二條邊的取值范圍的)

如圖所示:

這三步是大部分同學都能想到的,但是有一個大難題橫亙在大家面前:“第一條邊的長度在數軸上其實只是一個點,取到每一個點的概率都為0啊,這樣所有的independent probability的乘積不都是0了么?另外,該如何“窮舉”所有第一條邊的可能取值呢?”

如果同學們在之前的微積分學習中已經對“先微小后累積”這一思想大徹大悟,在看到這句設問時大都瞬間發現了這道題的妙處:

其實我們完全沒有必要把定積分拘泥于width and length of rectangle。我們可以把第一條邊的長度化一個點為一段長度“Δx”,那么第一條邊的概率就可以表示成Δx/a, 第二條邊的對應概率可以表示為 x/ a。

可以這么說, 第一條邊的對應概率就是所謂的“width”, 第二條邊的對應概率就是所謂的“length”,length*width構建出一個別出心裁的probability rectangle,接下來我只需要再求一下非常簡單的冪函數積分即可:

通過這一題大家可以發現一道題號為23的挑戰難度題目,其實可以非常省時省力地解決,這也是我們的講座和備考課程一直給大家灌輸的思想:希望大家學習一小部分微積分的知識點,沒有學過的同學不要害怕,學過的同學也不要以為自己理解得完全到位,我們并不需要特別高深的解題技巧和極快的計算速度,更需要的是對這一思想的透徹理解。

同理,還有一些數學思想,包括但不局限于統計學上離散型隨機變量分布、隨機過程的思想、線性代數中的矩陣運算,雖然很多都是大學的思想,但其實入門并不困難,很多時候往往能幫助我們在AMC的考試中占得一個身位的領先,我們也會在之后的文章中給大家帶來更多的知識點以及考題思路的匯總和整理,更多的內容解讀請繼續關注……

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