北京時間9月15日早,CB官方邀請Hollins大學的Julie老師對2021年AP微積分的考試情況進行了整體說明。主要包括以下幾個內容:

1. 2021年AP微積分5分率及分數分布

2. 2021年AP微積分成績與往年比較

3. 2021年AP微積分FRQ平均分

4. 2021年AP微積分各FRQ題目得分分布

5. 2021年北美FRQ題目分析與作答情況解讀

最后TD教師也根據多年一線教學經驗綜合給出了針對2022年AP微積分考試的一些備考經驗,希望對大家有所幫助!

2021年AP微積分5分率及分數分布

根據2021年參加AP微積分考試的全部考生數據,微積分AB有50.9%的學生獲得3分以上成績,微積分BC有75.3%的學生獲得了3分以上的成績。具體分數分布如下:

?2021年AP微積分成績與往年比較

與2018年及2019年相比,2021年AP微積分AB的成績在3分以上的學生有所減少,并且主要是考4分的學生數量明顯降低。官方推測主要是由于2021年疫情導致的整體學習環境變差造成了影響

而AP微積分BC的成績在4分與5分的學生比例都有下降,其中5分的比例下降了4.7%。但是3分以上的比例下降,BC下降的沒有AB多。

?2021年AP微積分FRQ平均分

在微積分AB與BC同樣的題目:第1、3、4題中,微積分BC的考生的平均分明顯都比AB要高。微積分AB的FRQ題目中,平均分最低的是第3題,考察利用定積分求Area與Volume,由于使用了不常見的模型Spinning Toys,因此題目難度的確比較大。

微積分BC的FRQ題目中,平均分最低的是第2題,考察參數型物體運動,由于與物體在x軸與y軸的直線變速運動有區別,比較容易混淆,所以考生的作答情況不佳。

2021年AP微積分各FRQ題目得分分布

從下圖中可以看到,微積分AB考生的主要問題在于FRQ題經常無法得到entry points基礎分,幾乎每道FRQ題目都有25%+的考生一分都拿不到,最高甚至達到40%。這也是整體平均分較低的主要原因。

微積分BC的情況要相對好一些,例如第1題與第4題,這兩題和AB的題目相同,作答情況明顯好很多。但第2、3、5、6題得0分的比例仍然在23%左右。

2021年北美FRQ題目分析與作答情況解讀

1. AB-1/BC-1

這道題主要考察黎曼和模型,AB考生的平均分為2.03,BC考生的平均分為3.12,都不是很高。

但是在a) 問的估計導數值,b) 問的寫出右黎曼求和公式,c) 問的increasing會導致右黎曼和高估實際值,d) 問的平均值公式上,考生表現的都還可以。

但是也有許多考生共同會犯的錯誤和問題。例如a) 問中考生無法識別是細菌的population在變化還是density在變化,并且無法寫出正確的單位;b) 問對于右黎曼求和,學生經常會忽略題目要求是對r*f(r)進行右黎曼和估計,而不是對f(r)進行估計;c) 問常犯的錯誤在于不知道如何解釋r*f(r)是increasing的。

這也體現出AP教師在之后的教學中需要注意提升學生的如下能力。

首先要帶領學生識別不常見的單位和非典型的黎曼和求近似模型

此外需要提醒學生注意審題,并且不要答非所問

其次需要讓學生進行準確的語言描述訓練和對數學含義的解釋訓練

最后需要強調學生對圖形計算器的使用

2. AB-2

這道題的平均得分為2.72,題目難度并不高,但是大部分AB考生對于Straight Line Motion的掌握并不好,所以仍有35%的學生獲得了0分。

許多學生在本題的作答中可以正確找到a) 問中兩個物體的position function,也知道b) 問需要用velocity來確定物體的運動方向。此外大多數學生在c) 問中知道需要通過判斷velocity與acceleration同號/異號來判斷speed的增減性,并且d) 問中也清楚需要利用定積分來求物體的運動總路程。

但是,仍然有如下考生常犯的錯誤。例如a) 問中對notation的使用很不規范,尤其是求積分忘記寫dt,而且有很多學生忘記用初始值求particular solution。在b) 問中主要是考生意識不到關于兩個物體的velocity的正負是相關的,因為不考慮起始位置僅看運動方向無法確定兩個物體是相向而行還是相背而行。

c) 問的主要錯誤在于很多考生拿不到set up point:a(t)=v’(t),而且只考慮加速度的符號,忘記也需要看速度的正負。d) 問錯誤也是常見錯誤,對于total distance在求積分時忘記是對velocity的絕對值求定積分

通過這道題,體現出AP教師在授課中需要提升學生使用正確數學符號的能力,對于給出的結論也要做充分的論證,最后需要避免模糊的用詞例如it等。

3. AB-6

這道題的平均分僅有1.75,是平均分倒數第二的題目,但實際上這道題考察的Unit7 Differential Equation的知識并沒有很難。

在a) 問的畫曲線圖像,b) 問的使用正確單位并把極限和水平漸近線聯系起來,c) 問的使用分離變量法、使用積分、代入初始值,d) 問的求二階導和使用差商等方面,考生的表現還可以。

但體現的問題也比較集中。主要在于b) 問中學生對于“in the patient和“administered to the patient”無法區分開,本題的A(t)是在藥品給病人服用后,藥物在病人身體中含量的模型。此外對于極限的解釋有錯誤,會說成最大值或者是藥品的量“be 12”-“是12”,但應該是“approaches 12”即“接近12”。

在c) 問中問題出在不能正確進行分離變量法,換元法求積分的方法也不熟練,并且不會進行指數方程與對數方程的轉換。d) 問中,很少有考生會考慮到用二階導來判斷極值,并且對二階導的求法也非常不熟練。

 

這就需要AP教師在之后的授課中注意以下幾個方面:

首先要讓學生熟練分離變量法解微分方程的步驟

其次要強調對于初始值的使用位置

第三是對于無窮極限的理解和現實生活中的應用

最后是需要學生加強指數表達式簡化的訓練和分數方程的計算

4. BC-5

這道題考察了分離變量法、泰勒展開以及歐拉法則,平均分為4.26,是BC的6道FRQ中平均分第二高的題目,證明大部分BC的學生在這部分的掌握還是不錯的

學生表現比較優秀的地方:首先大部分學生都能夠寫出泰勒多項式的展開方法,或者至少能寫出麥克勞林多項式的展開形式;其次在用泰勒多項式估計函數值上也沒有問題;此外大部分學生都能理解如何使用歐拉法則進行估計;最后大部分學生都可以正確分離變量。

問題比較集中在以下幾個地方:a) 問中多項式的起點在x=0而不是x=1,ln1=0而不是ln1=1,對函數值進行估計卻不使用二階泰勒多項式,在這些地方很多考生出現了錯誤;b) 問的問題主要出現在歐拉法則的使用上,例如step size應該是0.5,每一步代入時x的數值錯誤等等;c) 問的問題依舊和分離變量法的正確使用相關,此外還有對分部積分法的不熟練,以及計算簡化方面容易出現錯誤。

這道題對于AP教師的要求在于以下幾點:

首先要強化學生理解什么時候使用泰勒多項式估計,什么時候使用實際表達值求確切值;

其次要提醒學生對于正確數學符號的使用;

再次是需要學生練習分離變量法的正確步驟以及對分部積分法的熟練掌握。

TD教師備考建議

最后,給即將參加2022年AP微積分考試的同學們提出幾點備考建議:

1. AP微積分考試并不注重對于計算的考察,但根據2021年的命題趨勢,越來越強調對于概念和定義的理解。僅僅局限于會求導和求積分已經遠遠不夠,更需要對知識點知其然也知其所以然

2. 對于重難點章節要多做練習多思考,例如微積分AB的Unit4導數實際應用、Unit7微分方程、Unit8積分應用,微積分BC的Unit9參數方程&向量&極sat 標、Unit10級數。在Unit4和Unit8的導數與積分的實際應用部分需要多看一下不同的函數模型形式,搞清楚不同模型中變化的是哪個量,以應對逐漸變難的題目趨勢。

3. 在學習完全部知識點之后,可以根據考綱將每個單元的考點和知識點進行整理,并試著給其他人進行講解。給他人講解對于自己內化知識并且梳理邏輯有著非常明顯的效果,能給他人講明白,那自己對于知識點的熟悉程度自然會很高。

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AP 2D藝術、AP 3D藝術、AP音樂理論、AP Research、AP Seminar: 10月3日

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